Quiero instalar un SO que tengo booteado en el USB, y quiero instalarlo dentro del propio USB en una partición persistente que ya he creado.

El problema es que lo he probado varias veces y no me aparece ninguna tarjeta de red ni cuando lo hago en modo live ni cuando lo instalo de forma grafica.
No sé si es una pregunta tonta pero entiendo que el SO corre en el ordenador aunque esté en el USB ya que si no no funcionaría. O igual lo que acabo de decir es una estupidez y que lo evidente es que no tenga conexión a internet en la persistencia del SO en el USB ya que los USBs no tienen tarjeta de red.

Al parecer faltan los drivers de tu placa de red en ese sistema operativo que estás usando. (La instalación en la partición o el modo live no tienen nada que ver en este caso). Una buena alternativa es validar si al menos puedes conectar una antena USB WIFI y tener conexión a internet para investigar el tema de los drivers.  (descargarlos e instalarlos y eso va a depender MUCHO de su SO Linux que estès usando). Exitos!